Codeforces Round #548 (Div. 2) D. Steps to One

問題ページ

考えたこと

• gcd=gと決め打つと長さの期待値が割と簡単に求まる気がする
• 長さnの確率は (gの倍数の確率)^(n-1) * (gの倍数以外の確率) っぽい
• g=2,3 の両方で 6, 6, 6, 6,…, 1みたいなのを重複して数えてる
• 約数系包除で数えられそう
• 期待値をちゃんと求める
• m以下のgの倍数の個数をcntとする
• 期待値 = sum_{n=1}^{無限} n * (cnt/m)^(n-1) * (1-cnt/m)
• 公比掛けて引くやつでこのsumは求まる
• 整理すると期待値 = m/(m-cnt)
• gの倍数の分を余計に数えてるので dp[g] -= dp[gの倍数] とする
• 調和級数でO(mlogm)なので間に合いそう
• sample3が1ずれてる
• 実装が間違ってるのかと思って手計算するけど手計算もサンプルとずれてる
• 何が間違ってるのかよくわからない
  -----コンテスト終わり-----
• 期待値計算でn=1のときの確率が1-cnt/mとなっているが正しくは1/m
• ここの値をちゃんと直すと通った

この立式のn=1がコーナーになってるの全く気づけませんが… 立式パートでやたら式変形に時間を溶かしたのだめ

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<typename T>
istream& operator >> (istream& is, vector<T>& vec){
    for(T& x: vec) {is >> x;} return is;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'['; for(T i: a) {out<<i<<',';} out<<']'; return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

struct mint {
  ll x;
  mint(): x(0) { }
  mint(ll y) : x(y>=0 ? y%MOD : y%MOD+MOD) {}
  ll get() const { return x; }
  // e乗
  mint pow(ll e) {
    ll a = 1, p = x;
    while(e > 0) {
      if(e%2 == 0) {p = (p*p) % MOD; e /= 2;}
      else {a = (a*p) % MOD; e--;}
    }
    return mint(a);
  }
  // Comparators
  bool operator <(mint b) { return x < b.x; }
  bool operator >(mint b) { return x > b.x; }
  bool operator<=(mint b) { return x <= b.x; }
  bool operator>=(mint b) { return x >= b.x; }
  bool operator!=(mint b) { return x != b.x; }
  bool operator==(mint b) { return x == b.x; }
  // increment, decrement
  mint operator++() { x++; return *this; }
  mint operator++(signed) { mint t = *this; x++; return t; }
  mint operator--() { x--; return *this; }
  mint operator--(signed) { mint t = *this; x--; return t; }
  // Basic Operations
  mint &operator+=(mint that) {
    x += that.x;
    if(x >= MOD) x -= MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator-=(mint that) {
    x -= that.x;
    if(x < 0) x += MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator*=(mint that) {
    x = (ll)x * that.x % MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator/=(mint that) {
    x = (ll)x * that.pow(MOD-2).x % MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator%=(mint that) {
    x = (ll)x % that.x;
    return *this;
  }
  mint operator+(mint that) const { return mint(*this) += that; }
  mint operator-(mint that) const { return mint(*this) -= that; }
  mint operator*(mint that) const { return mint(*this) *= that; }
  mint operator/(mint that) const { return mint(*this) /= that; }
  mint operator%(mint that) const { return mint(*this) %= that; }
};
// Input/Output
ostream &operator<<(ostream& os, mint a) { return os << a.x; }
istream &operator>>(istream& is, mint &a) { return is >> a.x; }

ll binpow(ll x, ll e) {
  ll ret = 1, p = x;
  while(e > 0) {
    if(e&1) {(ret *= p) %= MOD; e--;}
    else {(p *= p) %= MOD; e /= 2;} 
  }
  return ret;
}

signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    ll m;
    cin >> m;

    if(m == 1) {
        cout << 1 << endl;
        return 0;
    }

    vector<mint> dp(m+1);
    for(ll i=m; i>=2; --i) {
        ll cnt = m / i;
        dp[i] = mint(m) / (m-cnt);
        dp[i] -= mint(m - cnt) / m;
        for(ll j=2*i; j<=m; j+=i) {
            dp[i] -= dp[j];
        }
    }

    mint ret = mint(1) / m;
    FOR(i, 2, m+1) ret += dp[i];
    cout << ret << endl;

    return 0;
}