Codeforces Round #554 (Div. 2) D. Neko and Aki's Prank

問題ページ

解法

木において最大マッチングを考える場合、葉が隣接する辺から貪欲に取っていけばよい。葉が隣接する辺を取らなかったことでマッチングに追加できる辺の本数は高々1本なので取らないことで得をすることはないからである。よってTrie木で根からの距離(=深さ)が奇数の頂点からの辺をマッチングに加えれば良い。
Trie木で深さが奇数の頂点が何個あるか？という問題に帰着できた。 正しい括弧列のprefixで開き括弧を 個、閉じ括弧を 個使った括弧列の個数 としたdpを行うことで求めることができ、答えは となる。

最初 かと思ってカタラン数から高速に求められる…？とか考えてたら でよかった

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a) {
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'[';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<']';
    return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out, const set<T>& a) {
    out<<'{';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}
template<class T, class S>
ostream &operator <<(ostream& out, const map<T,S>& a) {
    out<<'{';
    for(auto &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

template<ll MOD>
struct modint {
    ll x;
    modint(): x(0) {}
    modint(ll y) : x(y>=0 ? y%MOD : y%MOD+MOD) {}
    static constexpr ll mod() { return MOD; }
    // e乗
    modint pow(ll e) {
        ll a = 1, p = x;
        while(e > 0) {
            if(e%2 == 0) {p = (p*p) % MOD; e /= 2;}
            else {a = (a*p) % MOD; e--;}
        }
        return modint(a);
    }
    modint inv() const {
        ll a=x, b=MOD, u=1, y=1, v=0, z=0;
        while(a) {
            ll q = b/a;
            swap(z -= q*u, u);
            swap(y -= q*v, v);
            swap(b -= q*a, a);
        }
        return z;
    }
    // Comparators
    bool operator <(modint b) { return x < b.x; }
    bool operator >(modint b) { return x > b.x; }
    bool operator<=(modint b) { return x <= b.x; }
    bool operator>=(modint b) { return x >= b.x; }
    bool operator!=(modint b) { return x != b.x; }
    bool operator==(modint b) { return x == b.x; }
    // Basic Operations
    modint operator+(modint r) const { return modint(*this) += r; }
    modint operator-(modint r) const { return modint(*this) -= r; }
    modint operator*(modint r) const { return modint(*this) *= r; }
    modint operator/(modint r) const { return modint(*this) /= r; }
    modint &operator+=(modint r) {
        if((x += r.x) >= MOD) x -= MOD;
        return *this;
    }
    modint &operator-=(modint r) {
        if((x -= r.x) < 0) x += MOD;
        return *this;
    }
    modint &operator*=(modint r) { x = x * r.x % MOD; return *this; }
    modint &operator/=(modint r) { return *this *= r.inv(); }
    // increment, decrement
    modint operator++() { x++; return *this; }
    modint operator++(signed) { modint t = *this; x++; return t; }
    modint operator--() { x--; return *this; }
    modint operator--(signed) { modint t = *this; x--; return t; }
};
using mint = modint<1000000007>;
template<class T> mint operator*(T l, mint r) { return mint(l) *= r; }
template<class T> mint operator+(T l, mint r) { return mint(l) += r; }
template<class T> mint operator-(T l, mint r) { return mint(l) -= r; }
template<class T> mint operator/(T l, mint r) { return mint(l) /= r; }
template<class T> bool operator==(T l, mint r) { return mint(l) == r; }
template<class T> bool operator!=(T l, mint r) { return mint(l) != r; }
// Input/Output
ostream &operator<<(ostream& os, mint a) { return os << a.x; }
istream &operator>>(istream& is, mint &a) { return is >> a.x; }
string to_frac(mint v) {
    static map<ll, PII> mp;
    if(mp.empty()) {
        mp[0] = mp[mint::mod()] = {0, 1};
        FOR(i, 2, 1001) FOR(j, 1, i) if(__gcd(i, j) == 1) {
            mp[(mint(i) / j).x] = {i, j};
        }
    }
    auto itr = mp.lower_bound(v.x);
    if(itr != mp.begin() && v.x - prev(itr)->first < itr->first - v.x) --itr;
    string ret = to_string(itr->second.first + itr->second.second * ((int)v.x - itr->first));
    if(itr->second.second > 1) {
        ret += '/';
        ret += to_string(itr->second.second);
    }
    return ret;
}

mint dp[1010][1010];
signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    ll n;
    cin >> n;

    dp[0][0] = 1;
    REP(i, n+1) REP(j, i+1) {
        if(i+1<n+1 && j<=i+1) dp[i+1][j] += dp[i][j];
        if(j+1<n+1 && j+1<=i) dp[i][j+1] += dp[i][j];
    }

    mint ret = 0;
    REP(i, n+1) REP(j, i+1) if((i+j)%2) ret += dp[i][j];
    cout << ret << endl;

    return 0;
}