ferinの競プロ帳

競プロについてのメモ

AGC030 D - Inversion Sum

競技プログラミング AtCoder

問題ページ

考えたこと

  • 全パターンについて数え上げなので確率で考える
  • ペア(A[i], A[j])について反転している確率を求めてこれを足して2^Qを掛ければよさそう
  • A[i]>A[j],i<jとなるjの個数の期待値 = 操作の結果A[i]がj番目に行く確率 * j番目以降にA[i]未満の数が来る個数の期待値
  • p[i][j] = A[i]がj番目に行く確率 として計算する
  • 操作としてx,yが与えられたときp[i][x] = p[i][y] = p[i][x]/2 + p[i][y]/2 となる
  • この処理を各操作について愚直に計算したとしてもO(NQ)で計算できる
  • p[i][j] からj番目以降にA[i]未満の数が来る個数の期待値を求めたい
  • A[i]をソートしておいてA[i]未満の値がj番目に来る確率を持っておきつつ処理みたいなことをしたい
  • B[j] = (j番目にA[i]未満の値が来る確率) をBITを使って持っておくみたいなことを考えた
  • ただしA[i]がj番目に行くと確定させるとB[j]の値が変動してしまうのでまともに値を保持しておけない
    -----解説を見た-----
  • A[i]がj番目に行く確率ではなく(i,j)でA[i]>A[j]となる確率をそのまま持つ
  • p[i][j] = (i,j)でA[i]>A[j]となる確率 とする
  • 操作としてx.yが与えられたときどのように遷移するかを考える
    • p[x][y] = p[y][x] = (p[x][y]+p[y][x])/2 (交換しない場合p[x][y]=p[x][y],交換する場合p[x][y]=p[y][x]で確率は1/2)
    • p[x][i] = p[y][i] = (p[x][i] + p[y][i])/2 (i!=x && i!=y)
    • p[i][x] = p[i][y] = (p[i][x] + p[i][y])/2 (i!=x && i!=y)
  • 以上の遷移はO(N)で処理できるのでO(NQ)で配列pを求めることができる
  • 答えは sum_{i<j} (p[i][j]) * 2^Q となる

値としてp[i][j] = A[i]<A[j]となる確率 みたいな持ち方しか思いつかなかった
交換したあとの位置で考えた方がうまくいく
答えに直結するものをもつ

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;
 
#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
 
template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
 
template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) { 
  return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }
 
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<typename T>
istream& operator >> (istream& is, vector<T>& vec){
  for(T& x: vec) {is >> x;} return is;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'['; for(T i: a) {out<<i<<',';} out<<']'; return out;
}
 
int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const int MOD = 1000000007;

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  ll n, q;
  cin >> n >> q;
  vector<ll> a(n), x(q), y(q);
  REP(i, n) cin >> a[i];
  REP(i, q) cin >> x[i] >> y[i], x[i]--, y[i]--;

  vector<vector<ll>> p(n, vector<ll>(n));
  REP(i, n) REP(j, n) p[i][j] = a[i] > a[j];

  ll inv2 = (MOD+1) / 2;
  REP(i, q) {
    REP(j, n) {
      if(j == x[i] || j == y[i]) continue;
      ll tmp = (p[j][x[i]] + p[j][y[i]]) * inv2 % MOD;
      p[j][x[i]] = p[j][y[i]] = tmp;
      tmp = (p[x[i]][j] + p[y[i]][j]) * inv2 % MOD;
      p[x[i]][j] = p[y[i]][j] = tmp;
    }
    ll tmp = (p[y[i]][x[i]] + p[x[i]][y[i]]) * inv2 % MOD;
    p[x[i]][y[i]] = p[y[i]][x[i]] = tmp;
  }

  ll ans = 0;
  REP(i, n) FOR(j, i+1, n) (ans += p[i][j]) %= MOD;
  REP(i, q) (ans *= 2) %= MOD;
  cout << ans << endl;

  return 0;
}