天下一プログラマーコンテスト2015本戦 E - 天下一コップ

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解法

順列全てや部分列それぞれについて計算しろといった問題で与えられた通りに数えるのはTLEしてしまうので別の視点から数え上げるのが有効な場合が多い。今回の問題ではi番目の長方形が底でj番目の長方形の高さまで水が入っているような並び方が何通りあるか？という視点で考えてみる。f(i,j) = (i番目の長方形が底でj番目の長方形の高さまで水が入っているような並び方の数) とすると答えは となる。ここで < であるような場合について場合分けするのは大変なのであらかじめ高さで降順にソートしておきj<iとなるようなi,jの組についてしか計算しないとする。
条件を満たすような並び方がどのような並び方かについて考える。i番目の長方形を中間においたときにj番目がある側と反対側にj番目より高い長方形が集まっていれば条件を満たす。j番目より高い長方形がj番目と同じ側に存在しているとi番目の長方形にj番目の長方形の高さより高い位置まで水が貯まるのでこれを数えてはいけない。

f(i,j)を高速に求める方法として確率の考え方を用いる。全通りについて計算しているので確率 * N!を計算すれば並び方の数を計算できる。高い長方形から順番に挿入していくと考える。j番目より高い長方形がすでに存在しているところにj番目の長方形を追加できる場所はj+1通りある。このうち両端の2箇所に挿入した場合のみ条件を満たす。i番目の長方形を挿入する位置はi+2箇所あり、そのうちj番目の長方形に挟まれる1箇所のみが条件を満たす。まとめると条件を満たす確率は2/(j+1)(j+2)となる。
よって答えは sum(Wi/(j+1)(j+2)) * 2N! (0 <= j < i < n) となる。この式を愚直に計算するとO(N^2)となるのでこの計算を高速化する。iとjについて混ざった式になっているのでiとjについて独立な式にすることを考える。sum(W[i] * (sum(H[j]/(j+1)(j+2)) + H[i] * sum(1/(j+1)(j+2)))) 2N!となる。この式のうちsum(H[j]/(j+1)(j+2))とsum(1/(j+1)(j+2))は事前に計算しておくことでO(1)で計算できる。したがって全体でO(N)でこの式を計算することができ問題を解くことができた。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
  return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<typename T>
istream& operator >> (istream& is, vector<T>& vec){
  for(T& x: vec) {is >> x;} return is;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'['; for(T i: a) {out<<i<<',';} out<<']'; return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

// 二分累乗 O(funcの計算量*logE)
template<typename T=ll>
T binpow(T x, ll e, function<T(T,T)> func=[](T a, T b){return a*b%MOD;}, T d=1) {
  T ret = d, p = x;
  while(e > 0) {
    if(e%2 == 0) {p = func(p, p); e /= 2;}
    else {ret = func(ret, p); e--;}
  }
  return ret;
};

struct mint {
  ll x;
  mint(): x(0) { }
  mint(ll y) : x(y>=0 ? y%MOD : y%MOD+MOD) {}
  ll get() const { return x; }
  // e乗
  mint pow(ll e) {
    ll a = 1, p = x;
    while(e > 0) {
      if(e%2 == 0) {p = (p*p) % MOD; e /= 2;}
      else {a = (a*p) % MOD; e--;}
    }
    return mint(a);
  }
  // Comparators
  bool operator <(mint b) { return x < b.x; }
  bool operator >(mint b) { return x > b.x; }
  bool operator<=(mint b) { return x <= b.x; }
  bool operator>=(mint b) { return x >= b.x; }
  bool operator!=(mint b) { return x != b.x; }
  bool operator==(mint b) { return x == b.x; }
  // increment, decrement
  mint operator++() { x++; return *this; }
  mint operator++(signed) { mint t = *this; x++; return t; }
  mint operator--() { x--; return *this; }
  mint operator--(signed) { mint t = *this; x--; return t; }
  // Basic Operations
  mint &operator+=(mint that) {
    x += that.x;
    if(x >= MOD) x -= MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator-=(mint that) {
    x -= that.x;
    if(x < 0) x += MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator*=(mint that) {
    x = (ll)x * that.x % MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator/=(mint that) {
    x = (ll)x * that.pow(MOD-2).x % MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator%=(mint that) {
    x = (ll)x % that.x;
    return *this;
  }
  mint operator+(mint that) const { return mint(*this) += that; }
  mint operator-(mint that) const { return mint(*this) -= that; }
  mint operator*(mint that) const { return mint(*this) *= that; }
  mint operator/(mint that) const { return mint(*this) /= that; }
  mint operator%(mint that) const { return mint(*this) %= that; }
};
// Input/Output
ostream &operator<<(ostream& os, mint a) { return os << a.x; }
istream &operator>>(istream& is, mint &a) { return is >> a.x; }

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  ll n;
  cin >> n;
  vector<PII> a(n);
  REP(i, n) cin >> a[i].second >> a[i].first;

  sort(ALL(a), greater<>());
  vector<mint> w(n), h(n);
  REP(i, n) w[i] = a[i].second, h[i] = a[i].first;

  vector<mint> p(n), q(n);
  p[0] = mint(h[0] * binpow(2, MOD-2));
  FOR(i, 1, n) p[i] = p[i-1] + h[i] * binpow((i+1)*(i+2)%MOD, MOD-2);
  q[0] = mint(binpow(2, MOD-2));
  FOR(i, 1, n) q[i] = q[i-1] + binpow((i+1)*(i+2)%MOD, MOD-2);

  mint ans = 0;
  REP(i, n) ans += (p[i] - q[i] * h[i]) * w[i];
  ans *= 2;
  REP(i, n) ans *= i+1;

  cout << ans << endl;

  return 0;
}