AGC028 B - Removing Blocks

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i番目がカウントされる回数= sum_{j=1}^N (j番目を取り除く時にi番目と連結なパターン数) までは考察できたけど連結なパターン数を求めるパートで無限に詰まって終了した。数え上げで全通りの数え上げは実質期待値と同じなので確率っぽい考え方が使える。

解法

(j番目を取り除く時にi番目と連結なパターン数) = N! / (abs(i-j)+1) となる。この式はN!/kの形になってこれはフェルマーの小定理で逆元求めるのをすればO(logMOD)で出せる。これの和(1<=k<=N)みたいなのを求めたいので累積和を取っておけばこれもO(1)で求まる。各iについてO(1)で求まるので解けた。

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<int, int>;
 
#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
 
template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) { 
  return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<typename T>
istream& operator >> (istream& is, vector<T>& vec){
  for(T& x: vec) {is >> x;} return is;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'['; for(T i: a) {out<<i<<',';} out<<']'; return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const int MOD = 1000000007;

// 二分累乗 O(funcの計算量*logE)
template<typename T=ll>
T binpow(T x, int e, function<T(T,T)> func=[](T a, T b){return a*b%MOD;}, T d=1) {
  T ret = d, p = x;
  while(e > 0) {
    if(e%2 == 0) {p = func(p, p); e /= 2;}
    else {ret = func(ret, p); e--;}
  }
  return ret;
};

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  ll n;
  cin >> n;
  vector<ll> a(n);
  cin >> a;
  
  // i番目がカウントされる回数
  // = sum_{j=1}^N (j番目を取り除く時にi番目と連結なパターン数)
  // = sum_{j=1}^N N! / (abs(j-i)+1)
  // この和は前計算しておけばO(1)で求まるのでi番目がカウントされる回数がO(1)で求まる
  // 全体ではO(N)

  ll frac = 1;
  REP(i, n) (frac *= i+1) %= MOD;
  vector<ll> dp(n);
  REP(i, n) dp[i] = frac * binpow(i+1, MOD-2) % MOD;
  FOR(i, 1, n) (dp[i] += dp[i-1]) %= MOD;

  ll ret = 0;
  REP(i, n) {
    // [0, i] と [1, n-i]
    ll tmp = ((dp[i] + dp[n-i-1]) % MOD - dp[0]) % MOD;
    (tmp += MOD) %= MOD;
    (ret += a[i] * tmp % MOD) %= MOD;
  }
  cout << ret << endl;

  return 0;
}