ferinの競プロ帳

競プロについてのメモ

AIM Tech Round 5 (rated, Div. 1 + Div. 2) D. Order book

競技プログラミング Codeforces

問題ページ

解法

サンプル2について考える．

4
ADD 1
ADD 2
ADD 3
ACCEPT 2

ACCEPTが正常に行われるには2がBUYの最善かSELLの最善である必要がある．したがって2未満はBUY，2より大きいものはSELL以外にすることが不可能でどちらにすべきか確定する．

このsampleのようにACCEPTが行われたタイミングでBUYにすべきかSELL にすべきかを確定していく．ACCEPTのタイミングでどのような処理を行うか考える．
ACCEPT p

  • pが存在しない(ADDされていない or すでにACCEPTで消された) 不可能な操作列なのでans=0で終了
  • pが未確定
    • pがBUYの最善以下 もしくは pがSELLの最善以上 → 不可能
    • それ以外
      ans *= 2
      pより大きいものはSELL，p未満はBUYで確定する
      pを削除する
  • pが確定
    • pが最善ではない → 不可能
    • pが最善
      pより大きいものはSELL，p未満はBUYで確定する
      pを削除する

注意する点として最後がADDのケースがある．最後のACCEPTのあとにADDされたpのうち，BUYの最善とSELLの最善の間のものはBUYとSELLのどちらにするのか自由度がある．BUYとSELLを区切る位置がBUYの最善とSELLの最善の間のものの個数通り存在する．したがってこれを最後に答えに掛ける．

ここからは自分がどのように実装したかを書く．処理を行う上で必要なこととして pが存在するか？の判定，pが確定か？の判定，pはBUYとSELLのどちらか？の判定 などがある．これらを行うために 存在しているp，BUYに属しているp，SELLに属しているp をsetで持っておく．
また，未確定のものをBUYやSELLで確定したものに移す処理のため未確定のものをvectorで持っておく．
これらのデータ構造を用いることで どの処理をすべきなのか？ を判定し順番に処理を行っていく．

場合分けとすべき処理をちゃんともれなく考える必要があって大変

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a) {
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'[';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<']';
    return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out, const set<T>& a) {
    out<<'{';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}
template<class T, class S>
ostream &operator <<(ostream& out, const map<T,S>& a) {
    out<<'{';
    for(auto &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    ll n;
    cin >> n;
    vector<string> s(n);
    vector<ll> p(n);
    REP(i, n) cin >> s[i] >> p[i];

    ll ans = 1;
    vector<ll> v;
    set<ll> buy, sell, st;
    REP(i, n) {
        if(s[i] == "ADD") {
            v.push_back(p[i]);
            st.insert(p[i]);
        } else {
            // pが存在しない
            if(st.find(p[i]) == st.end()) {
                ans = 0;
                break;
            }
            // pが未確定
            else if(buy.find(p[i])==buy.end() && sell.find(p[i])==sell.end()) {
                ll buy_best = (buy.size()?(*(buy.rbegin())):-1);
                ll sell_best = (sell.size()?(*(sell.begin())):LLINF);
                if(buy_best > p[i] || p[i] > sell_best) {
                    ans = 0;
                    break;
                }
                (ans *= 2) %= MOD;
                st.erase(p[i]);
                for(auto j: v) {
                    if(j < p[i]) buy.insert(j);
                    else if(j > p[i]) sell.insert(j);
                }
            }
            // pが確定
            else {
                if(buy.size() && p[i] == *(buy.rbegin())) {
                    st.erase(p[i]);
                    buy.erase(p[i]);
                } else if(sell.size() && p[i] == *(sell.begin())) {
                    st.erase(p[i]);
                    sell.erase(p[i]);
                } else {
                    ans = 0;
                    break;
                }
                for(auto j: v) {
                    if(j < p[i]) buy.insert(j);
                    else if(j > p[i]) sell.insert(j);
                }
            }
            v.clear();
        }
        // cout << "i=" << i << endl << "v=" << v << endl << "st=" << st << endl << "buy=" << buy << endl << "sell=" << sell << endl;
    }

    ll tmp = 0;
    REP(i, v.size()) {
        ll buy_best = (buy.size()?(*(buy.rbegin())):-1);
        ll sell_best = (sell.size()?(*(sell.begin())):LLINF);
        if(buy_best < v[i] && v[i] < sell_best) {
            tmp++;
        }
    }
    cout << ans * (tmp+1) % MOD << endl;

    return 0;
}

Technocup 2019 - Elimination Round 1 E. Vasya and Good Sequences

Codeforces 競技プログラミング

問題ページ

解法

まず区間 l,r を一つ固定して，この区間が条件を満たせるかの判定を考える．

ビットが立っている数が同じであれば作れる数字の集合は同じなため a \lbrack i \rbrack の値は本質ではなくビットが立っている数が大事． b \lbrack i \rbrack = a \lbrack i \rbrack のビットが立っている数とする．

a \lbrack l \rbrack \text{ xor } \ldots \text{ xor } a \lbrack r \rbrack = 0 とできる方法があるかの判定は，
「色 i のボールが b \lbrack i \rbrack 個あって違う色のボールをペアにできるとき，全てのボールがいずれかのペアに含まれるようなペアの作り方はあるか？」 という問題に帰着できる．この問題は \sum_{i=l}^{r} b \lbrack i \rbrack が偶数 かつ \max(b \lbrack i \rbrack) \leq (\sum_{i=l}^{r} b \lbrack i \rbrack)/2 であれば可能となる．

右端 r に対してこの条件を満たす左端 l が何個あるか？という問題を各 r に対して解けばよい．
\sum_{i=l}^r b \lbrack i \rbrackが偶数 となる左端 l の個数は \bmod 2 で合計が0/1となる区間 \lbrack i, r \rbrack がそれぞれ何個あるかを管理しておくことで求められる． \max(b \lbrack i \rbrack) \leq (\sum_{i=l}^{r} b \lbrack i \rbrack)/2 を「満たさない」左端 l は b \lbrack i \rbrack \leq 60 なことから l \geq r-60 に絞られ，全探索が可能である．

満たさない区間の長さが高々60なことに気づかなかった…

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a) {
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'[';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<']';
    return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out, const set<T>& a) {
    out<<'{';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}
template<class T, class S>
ostream &operator <<(ostream& out, const map<T,S>& a) {
    out<<'{';
    for(auto &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    ll n;
    cin >> n;
    vector<ll> a(n);
    REP(i, n) {
        ll t;
        cin >> t;
        a[i] = __builtin_popcountll(t);
    }

    ll ret = 0;
    vector<ll> parity(2);
    parity[a[0]%2]++;
    FOR(r, 1, n) {
        if(a[r]%2) swap(parity[0], parity[1]);
        // 条件を満たすlが何個あるか
        ll cnt = parity[0];
        ll ma = a[r], sum = a[r];
        for(ll l=r-1; l>=max(0LL,r-60); --l) {
            chmax(ma, a[l]);
            sum += a[l];
            if(sum%2==0 && ma > sum/2) {
                cnt--;
            }
        }
        ret += cnt;
        parity[a[r]%2]++;
    }
    cout << ret << endl;

    return 0;
}

Codeforces Round #290 (Div. 1)　C. Fox And Dinner

競技プログラミング Codeforces

問題ページ

解法

2以外の偶数は素数にならないことからa[i]とa[j]の偶奇が一致するときa[i]+a[j]は素数にならない
a[i]+a[j]が素数であれば頂点iと頂点jを結んだグラフは二部グラフになる
二部グラフから各頂点の次数が2になるように辺集合を選ぶ問題に帰着できた
これは二部マッチングと同様にフローを使って求めることができる

source → 奇数 に容量2の辺
偶数 → sink に容量2の辺
奇数 → 偶数 に容量1の辺

maxflowがNであれば条件を満たす分割がある
フローの結果、流れている辺が辺集合に属すると判断できるので復元も可能

閉路で分割
→頂点の次数が全て2
→マッチングのような辺集合を見つければよい
→二部グラフならこれはできる

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a) {
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'[';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<']';
    return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out, const set<T>& a) {
    out<<'{';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}
template<class T, class S>
ostream &operator <<(ostream& out, const map<T,S>& a) {
    out<<'{';
    for(auto &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

struct FordFulkerson {
    struct edge {
        int to;
        ll cap;
        int rev;
        bool isrev;
    };

    vector<vector<edge>> g;
    vector<int> used;
    int timestamp;

    FordFulkerson() {}
    FordFulkerson(int n) : g(n), used(n, -1), timestamp(0) {}

    void add_edge(int from, int to, ll cap) {
        g[from].emplace_back((edge){to, cap, (int)g[to].size(), false});
        g[to].emplace_back((edge){from, 0, (int)g[from].size()-1, true});
    }

    ll dfs(int idx, const int t, ll flow) {
        if(idx == t) return flow;
        used[idx] = timestamp;
        for(auto &e : g[idx]) {
            if(e.cap > 0 && used[e.to] != timestamp) {
                ll d = dfs(e.to, t, min(flow, e.cap));
                if(d > 0) {
                    e.cap -= d;
                    g[e.to][e.rev].cap += d;
                    return d;
                }
            }
        }
        return 0;
    }

    ll max_flow(int s, int t) {
        ll flow = 0;
        ++timestamp;
        for(ll f; (f = dfs(s, t, INF)) > 0; timestamp++) {
            flow += f;
        }
        return flow;
    }
};
ostream &operator <<(ostream& out, const FordFulkerson& a){
    out << "-----" << endl;
    for(int i = 0; i < (ll)a.g.size(); i++) {
        for(auto &e : a.g[i]) {
            if(e.isrev) continue;
            auto &rev_e = a.g[e.to][e.rev];
            out << i << "->" << e.to << " (flow: " << rev_e.cap << "/" << e.cap + rev_e.cap << ")" << endl;
        }
    }
    out << "-----" << endl;
    return out;
}

vector<bool> eratosthenes(ll n=1000000) {
    vector<bool> prime(n, true);
    prime[0] = prime[1] = false;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (prime[i]) {
            for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
                prime[j] = false;
            }
        }
    }
    return prime;
}

signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    ll n;
    cin >> n;
    vector<ll> a(n);
    REP(i, n) cin >> a[i];

    auto prime = eratosthenes(20001);

    FordFulkerson flow(n+2);
    ll s = n, t = n+1;
    REP(i, n) {
        if(a[i]%2) flow.add_edge(s, i, 2);
        else flow.add_edge(i, t, 2);
    }
    REP(i, n) REP(j, n) {
        if(a[i]%2 && a[j]%2==0 && prime[a[i]+a[j]]) {
            flow.add_edge(i, j, 1);
        }
    }

    if(flow.max_flow(s, t) != n) {
        cout << "Impossible" << endl;
        return 0;
    }

    vector<vector<ll>> v(n);
    REP(i, n) {
        for(auto e: flow.g[i]) {
            if(!e.isrev && e.cap == 0 && e.to < n) {
                // i と e.to は隣接
                v[i].push_back(e.to);
                v[e.to].push_back(i);
            }
        }
    }

    vector<bool> used(n);
    function<vector<ll>(ll,ll)> dfs = [&](ll ver, ll pre) {
        vector<ll> ret;
        used[ver] = true;

        if(v[ver][0]!=pre && !used[v[ver][0]]) ret = dfs(v[ver][0], ver);
        else if(v[ver][1]!= pre && !used[v[ver][1]]) ret = dfs(v[ver][1], ver);

        ret.push_back(ver);
        return ret;
    };

    vector<vector<ll>> ans;
    REP(i, n) if(!used[i]) ans.push_back(dfs(i, -1));

    cout << ans.size() << endl;
    REP(i, ans.size()) {
        cout << ans[i].size();
        for(auto j: ans[i]) cout << " " << j+1;
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

Codeforces Round #557 (Div. 2) [based on Forethought Future Cup - Final Round] C. Thanos Nim

競技プログラミング Codeforces

問題ページ

解法

どのような状態が勝ち/負けなのか考える。n=6で試してみる。0が4個以上の場合操作できないのでその時点で負けである。0が3個以下の場合、0が4個以上になるように操作して相手に渡せばよいので勝ちになる。1が4個以上の場合、どう操作しても0が3個以下の状態にしか移動できないので負けになる。1が3個以下の場合、1が4個以上になるように操作して渡せば良いので勝ちである。

0 0 0 0 0 0 → 負け
0 0 0 0 0 ? → 負け
0 0 0 0 ? ? → 負け
0 0 0 ? ? ? → 勝ち
0 0 ? ? ? ? → 勝ち
0 ? ? ? ? ? → 勝ち

1 1 1 1 1 1 → 負け
1 1 1 1 1 ? → 負け
1 1 1 1 ? ? → 負け
1 1 1 ? ? ? → 勝ち
1 1 ? ? ? ? → 勝ち
1 ? ? ? ? ? → 勝ち

以上のように実験より最小の要素がn/2個以下であれば勝ち、n/2個より多ければ負けなことがわかる。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a) {
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'[';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<']';
    return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out, const set<T>& a) {
    out<<'{';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}
template<class T, class S>
ostream &operator <<(ostream& out, const map<T,S>& a) {
    out<<'{';
    for(auto &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    ll n;
    cin >> n;
    ll mi = LLINF, cnt = 0;
    REP(i, n) {
        ll a;
        cin >> a;
        if(mi > a) mi = a, cnt = 1;
        else if(mi == a) cnt++;
    }

    if(cnt <= n/2) cout << "Alice" << endl;
    else cout << "Bob" << endl;

    return 0;
}

Codeforces Round #554 (Div. 2)　D. Neko and Aki's Prank

競技プログラミング Codeforces

問題ページ

解法

木において最大マッチングを考える場合、葉が隣接する辺から貪欲に取っていけばよい。葉が隣接する辺を取らなかったことでマッチングに追加できる辺の本数は高々1本なので取らないことで得をすることはないからである。よってTrie木で根からの距離(=深さ)が奇数の頂点からの辺をマッチングに加えれば良い。
Trie木で深さが奇数の頂点が何個あるか？という問題に帰着できた。 dp \lbrack i \rbrack \lbrack j \rbrack = ( 正しい括弧列のprefixで開き括弧を i 個、閉じ括弧を j 個使った括弧列の個数 )としたdpを行うことで求めることができ、答えは \sum_{(i+j)\%2=1} dp \lbrack i \rbrack \lbrack j \rbrack となる。

最初 n \le 10^{5} かと思ってカタラン数から高速に求められる…？とか考えてたら O(n^{2}) でよかった

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a) {
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'[';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<']';
    return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out, const set<T>& a) {
    out<<'{';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}
template<class T, class S>
ostream &operator <<(ostream& out, const map<T,S>& a) {
    out<<'{';
    for(auto &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

template<ll MOD>
struct modint {
    ll x;
    modint(): x(0) {}
    modint(ll y) : x(y>=0 ? y%MOD : y%MOD+MOD) {}
    static constexpr ll mod() { return MOD; }
    // e乗
    modint pow(ll e) {
        ll a = 1, p = x;
        while(e > 0) {
            if(e%2 == 0) {p = (p*p) % MOD; e /= 2;}
            else {a = (a*p) % MOD; e--;}
        }
        return modint(a);
    }
    modint inv() const {
        ll a=x, b=MOD, u=1, y=1, v=0, z=0;
        while(a) {
            ll q = b/a;
            swap(z -= q*u, u);
            swap(y -= q*v, v);
            swap(b -= q*a, a);
        }
        return z;
    }
    // Comparators
    bool operator <(modint b) { return x < b.x; }
    bool operator >(modint b) { return x > b.x; }
    bool operator<=(modint b) { return x <= b.x; }
    bool operator>=(modint b) { return x >= b.x; }
    bool operator!=(modint b) { return x != b.x; }
    bool operator==(modint b) { return x == b.x; }
    // Basic Operations
    modint operator+(modint r) const { return modint(*this) += r; }
    modint operator-(modint r) const { return modint(*this) -= r; }
    modint operator*(modint r) const { return modint(*this) *= r; }
    modint operator/(modint r) const { return modint(*this) /= r; }
    modint &operator+=(modint r) {
        if((x += r.x) >= MOD) x -= MOD;
        return *this;
    }
    modint &operator-=(modint r) {
        if((x -= r.x) < 0) x += MOD;
        return *this;
    }
    modint &operator*=(modint r) { x = x * r.x % MOD; return *this; }
    modint &operator/=(modint r) { return *this *= r.inv(); }
    // increment, decrement
    modint operator++() { x++; return *this; }
    modint operator++(signed) { modint t = *this; x++; return t; }
    modint operator--() { x--; return *this; }
    modint operator--(signed) { modint t = *this; x--; return t; }
};
using mint = modint<1000000007>;
template<class T> mint operator*(T l, mint r) { return mint(l) *= r; }
template<class T> mint operator+(T l, mint r) { return mint(l) += r; }
template<class T> mint operator-(T l, mint r) { return mint(l) -= r; }
template<class T> mint operator/(T l, mint r) { return mint(l) /= r; }
template<class T> bool operator==(T l, mint r) { return mint(l) == r; }
template<class T> bool operator!=(T l, mint r) { return mint(l) != r; }
// Input/Output
ostream &operator<<(ostream& os, mint a) { return os << a.x; }
istream &operator>>(istream& is, mint &a) { return is >> a.x; }
string to_frac(mint v) {
    static map<ll, PII> mp;
    if(mp.empty()) {
        mp[0] = mp[mint::mod()] = {0, 1};
        FOR(i, 2, 1001) FOR(j, 1, i) if(__gcd(i, j) == 1) {
            mp[(mint(i) / j).x] = {i, j};
        }
    }
    auto itr = mp.lower_bound(v.x);
    if(itr != mp.begin() && v.x - prev(itr)->first < itr->first - v.x) --itr;
    string ret = to_string(itr->second.first + itr->second.second * ((int)v.x - itr->first));
    if(itr->second.second > 1) {
        ret += '/';
        ret += to_string(itr->second.second);
    }
    return ret;
}

mint dp[1010][1010];
signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    ll n;
    cin >> n;

    dp[0][0] = 1;
    REP(i, n+1) REP(j, i+1) {
        if(i+1<n+1 && j<=i+1) dp[i+1][j] += dp[i][j];
        if(j+1<n+1 && j+1<=i) dp[i][j+1] += dp[i][j];
    }

    mint ret = 0;
    REP(i, n+1) REP(j, i+1) if((i+j)%2) ret += dp[i][j];
    cout << ret << endl;

    return 0;
}

Codeforces Round #551 (Div. 2) E. Serval and Snake

競技プログラミング Codeforces

問題ページ

解法

  • パスの端点を一つも含まないような範囲
    範囲に入った後出ることを繰り返すので返ってくる値は必ず偶数
  • パスの端点を両方含むような範囲
    範囲から出た後入るを繰り返すので返ってくる値は必ず偶数
  • パスの端点を片方だけ含む範囲
    範囲内と範囲外を往復したあと出て終わりになるので返ってくる値は必ず奇数

各列/行を覆うような範囲を指定してどの行/列に端点があるのか？を特定する。その後二分探索を行うことで返ってくる値が奇数の範囲を見つける。

行/列の特定に1000回、二分探索にそれぞれ10回最悪でかかるので最悪ケースが来ると条件を満たさない。しかし行/列を指定する順番をランダムにすると最悪を引く確率はかなり小さそうだったので投げると通った。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a) {
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'[';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<']';
    return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out, const set<T>& a) {
    out<<'{';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}
template<class T, class S>
ostream &operator <<(ostream& out, const map<T,S>& a) {
    out<<'{';
    for(auto &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

// #define DEBUG
ll query(ll x1, ll y1, ll x2, ll y2) {
#ifdef DEBUG

#else
    cout << "? " << y1+1 << " " << x1+1 << " " << y2+1 << " " << x2+1 << endl;
    ll ret;
    cin >> ret;
    return ret;
#endif
}

signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    ll n;
    cin >> n;

    vector<ll> idx(n);
    iota(ALL(idx), 0);
    mt19937 mt(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    shuffle(ALL(idx), mt);

    PII p1({-1, -1}), p2({-1, -1});
    for(auto i: idx) {
        ll num = query(0, i, n-1, i);
        if(num%2) {
            if(p1.first == -1 && p1.second == -1) p1.first = -1, p1.second = i;
            else {
                p2.first = -1, p2.second = i;
                break;
            }
        }
    }
    for(auto i: idx) {
        if(p2.first != -1 || p2.second != -1) break;
        ll num = query(i, 0, i, n-1);
        if(num%2) {
            if(p1.first == -1 && p1.second == -1) p1.first = i, p1.second = -1;
            else {
                p2.first = i, p2.second = -1;
                break;
            }
        }
    }

    ll lb=0,ub=n;
    while(ub-lb>1) {
        ll mid = (lb+ub)/2;

        ll num;
        if(p1.first == -1) num = query(mid, p1.second, ub-1, p1.second);
        else num = query(p1.first, mid, p1.first, ub-1);

        if(num%2) lb = mid;
        else ub = mid;
    }
    ll x1, y1;
    if(p1.first == -1) x1 = lb, y1 = p1.second;
    else x1 = p1.first, y1 = lb;

    lb=0,ub=n;
    while(ub-lb>1) {
        ll mid = (lb+ub)/2;

        ll num;
        if(p2.first == -1) num = query(mid, p2.second, ub-1, p2.second);
        else num = query(p2.first, mid, p2.first, ub-1);

        if(num%2) lb = mid;
        else ub = mid;
    }
    ll x2, y2;
    if(p2.first == -1) x2 = lb, y2 = p2.second;
    else x2 = p2.first, y2 = lb;

    cout << "! " << y1+1 << " " << x1+1 << " " << y2+1 << " " << x2+1 << endl;

    return 0;
}

AGC018 D - Tree and Hamilton Path

競技プログラミング AtCoder

問題ページ

考えたこと

  • 完全グラフだと辺の本数が多すぎてつらそう
  • 木の任意の頂点間を移動できると思った方がよさそう
  • 任意の順番で木上を移動するとき最長となる経路長を答える問題になった
  • よくわからないので実験する
  • ある頂点からはじめて最も遠い頂点に移動するを繰り返すみたいな貪欲をしてみる
  • サンプル1で頂点1から始めると重み5の辺を一回しか通れない
  • 頂点2か頂点5から始めるとよさそう
  • 重みが小さい辺の端点から始めるといい？
  • サンプル2で試すと132じゃなくて128になる
  • 通れてない辺がありそう
  • 辺を通れる回数について考えることにする
  • ある辺で木を切断したときに連結成分の要素数がs1、s2になったとする
  • s1 = s2 の場合 s1*2-1回 しか通れない
  • s1 != s2 の場合 min(s1, s2)*2回 しか通れない
  • 各辺を通れる回数の上界はわかった
  • 上界を取れるとして計算するとサンプル2は合うがサンプル1は合わない
  • 上界を取れない木を見つけて適当な辺一つの重みを引けばよさそう…？
  • 上界を取れない木がどのようなものなのか考えたいので実験する
  • 上界を取れない木ならmin(辺の重み)を答えから引けばいいかなと思ったけどそうではなさそう
  • 上界を取れない辺は大体1頂点を端点として共有していそう…？
  • 頂点数の偶奇で上界を取れる木と取れない木の判定できるかと思ったけど違う
  • 上界を取れる木と取れない木の判定、上界を取れない辺がどの辺なのかがわからない

-----解説を見た-----

  • 上界を取れる木と取れない木の判定はs1==s2となる辺が存在するか？
  • 上界を取れない辺は重心を端点とする点

実験してたのを見返すと上界を取れない辺が中心付近なのはわかるので重心を端点とする点なのはわかってもよかったかもしれない
重心が絡むことに気づけると重心は1個の場合と2個の場合が存在してるのでそれぞれ場合分けして考えればこの条件も導けた…？

解説放送のやり方

パス a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} の距離は \sum_{i=1}^{n} \text{depth}(a_{i}) + \text{depth}(a_{i+1}) - 2\times\text{depth}(\text{lca}(a_{i}, a_{i+1})) となる。どう順番を決めたところで \text{depth}(a_{i}) の中間は変わらないのでどうでもよくて先頭と末尾だけ影響する。LCAの部分がいろいろ変わって厄介だけど重心を根に取ったグラフを考えるとLCAの部分は常に0にできることが示せる。結局先頭を重心、末尾を重心に隣接する点のうち深さが最小なものと取ればよい。

木の距離って言われたらとりあえずLCAを持ち出すのこの間こどふぉでも見たし覚えておいてよさそう

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a) {
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'[';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<']';
    return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out, const set<T>& a) {
    out<<'{';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}
template<class T, class S>
ostream &operator <<(ostream& out, const map<T,S>& a) {
    out<<'{';
    for(auto &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

bool flag;
ll n, ans, centroid = -1;
vector<PII> g[100010];
ll dfs(ll v, ll p) {
    ll ret = 1;
    bool is_centroid = true;
    for(auto to: g[v]) {
        if(to.first == p) continue;
        ll sz1 = dfs(to.first, v);
        if(sz1 > n/2) is_centroid = false;
        ret += sz1;
        // sz と n-sz
        ll sz2 = n-sz1;
        if(sz1 == sz2) {
            ans += (sz1*2-1) * to.second;
            flag = true;
        } else {
            ans += min(sz1, sz2) * 2 * to.second;
        }
    }
    if(n-ret > n/2) is_centroid = false;
    if(is_centroid) centroid = v;
    return ret;
}

signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> n;
    REP(i, n-1) {
        ll a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        a--, b--;
        g[a].push_back({b, c});
        g[b].push_back({a, c});
    }

    dfs(0, -1);
    if(!flag) {
        assert(centroid != -1);
        ll mi = LLINF;
        for(auto i: g[centroid]) {
            chmin(mi, i.second);
        }
        ans -= mi;
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}