AGC018 D - Tree and Hamilton Path - ferinの競プロ帳

考えたこと

完全グラフだと辺の本数が多すぎてつらそう
木の任意の頂点間を移動できると思った方がよさそう
任意の順番で木上を移動するとき最長となる経路長を答える問題になった
よくわからないので実験する
ある頂点からはじめて最も遠い頂点に移動するを繰り返すみたいな貪欲をしてみる
サンプル1で頂点1から始めると重み5の辺を一回しか通れない
頂点2か頂点5から始めるとよさそう
重みが小さい辺の端点から始めるといい？
サンプル2で試すと132じゃなくて128になる
通れてない辺がありそう
辺を通れる回数について考えることにする
ある辺で木を切断したときに連結成分の要素数がs1、s2になったとする
s1 = s2 の場合 s1*2-1回しか通れない
s1 != s2 の場合 min(s1, s2)*2回しか通れない
各辺を通れる回数の上界はわかった
上界を取れるとして計算するとサンプル2は合うがサンプル1は合わない
上界を取れない木を見つけて適当な辺一つの重みを引けばよさそう…？
上界を取れない木がどのようなものなのか考えたいので実験する
上界を取れない木ならmin(辺の重み)を答えから引けばいいかなと思ったけどそうではなさそう
上界を取れない辺は大体1頂点を端点として共有していそう…？
頂点数の偶奇で上界を取れる木と取れない木の判定できるかと思ったけど違う
上界を取れる木と取れない木の判定、上界を取れない辺がどの辺なのかがわからない

-----解説を見た-----

上界を取れる木と取れない木の判定はs1==s2となる辺が存在するか？
上界を取れない辺は重心を端点とする点

実験してたのを見返すと上界を取れない辺が中心付近なのはわかるので重心を端点とする点なのはわかってもよかったかもしれない
重心が絡むことに気づけると重心は1個の場合と2個の場合が存在してるのでそれぞれ場合分けして考えればこの条件も導けた…？

解説放送のやり方

パス $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ の距離は $\sum_{i=1}^{n} \text{depth}(a_{i}) + \text{depth}(a_{i+1}) - 2\times\text{depth}(\text{lca}(a_{i}, a_{i+1}))$ となる。どう順番を決めたところで $\text{depth}(a_{i})$ の中間は変わらないのでどうでもよくて先頭と末尾だけ影響する。LCAの部分がいろいろ変わって厄介だけど重心を根に取ったグラフを考えるとLCAの部分は常に0にできることが示せる。結局先頭を重心、末尾を重心に隣接する点のうち深さが最小なものと取ればよい。

木の距離って言われたらとりあえずLCAを持ち出すのこの間こどふぉでも見たし覚えておいてよさそう

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<ll, ll>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()

template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) {
    return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a) {
    out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
    out<<'[';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<']';
    return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out, const set<T>& a) {
    out<<'{';
    for(const T &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}
template<class T, class S>
ostream &operator <<(ostream& out, const map<T,S>& a) {
    out<<'{';
    for(auto &i: a) out<<i<<',';
    out<<'}';
    return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

bool flag;
ll n, ans, centroid = -1;
vector<PII> g[100010];
ll dfs(ll v, ll p) {
    ll ret = 1;
    bool is_centroid = true;
    for(auto to: g[v]) {
        if(to.first == p) continue;
        ll sz1 = dfs(to.first, v);
        if(sz1 > n/2) is_centroid = false;
        ret += sz1;
        // sz と n-sz
        ll sz2 = n-sz1;
        if(sz1 == sz2) {
            ans += (sz1*2-1) * to.second;
            flag = true;
        } else {
            ans += min(sz1, sz2) * 2 * to.second;
        }
    }
    if(n-ret > n/2) is_centroid = false;
    if(is_centroid) centroid = v;
    return ret;
}

signed main(void)
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> n;
    REP(i, n-1) {
        ll a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        a--, b--;
        g[a].push_back({b, c});
        g[b].push_back({a, c});
    }

    dfs(0, -1);
    if(!flag) {
        assert(centroid != -1);
        ll mi = LLINF;
        for(auto i: g[centroid]) {
            chmin(mi, i.second);
        }
        ans -= mi;
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}