CSA Round #68 B Integer Coords

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概要

0<=x<=N, 0<=y<=M の範囲の2次元座標で2点選んだ時の線分が通る格子点がちょうどK点となるような2点の組み合わせは何個あるか求めろ

1 <= N,M <= 50
1 < K <= 50

考えたこと

• 何か誤読してて20分くらい溶かす
• 気づくと2点全列挙でO(N^2M^2)なので直線上の格子点のカウントがO(1)でできればよさそう
• 傾きが h/w (h,wは正の整数) の線分があって既約分数であれば横にw進むごとに格子点を1点通る
• したがってx方向に w/(gcd(h,w)) 進むごとに格子点を1点通る
• w進むので w / (w/gcd(h,w)) = gcd(h,w)
• x方向、y方向の差の絶対値のgcdを取ればいい
• したがって格子点のカウントがO(1)

学び

• (x1, y1) (x2, y2) を両端とする線分上の格子点は gcd(abs(x1-x2), abs(y1-y2))

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using VI = vector<int>;
using PII = pair<int, int>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define PB push_back

const ll LLINF = (1LL<<60);
const int INF = (1LL<<30);
const int MOD = 1000000007;

template <typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template <typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template <typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')';
  return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'[';
  REP(i, a.size()) {out<<a[i];if(i!=a.size()-1)out<<',';}
  out<<']';
  return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0};

signed main(void)
{
  int n, m, K;
  cin >> n >> m >> K;
  n++, m++;

  int ret = 0;
  REP(i, n) REP(j, m) REP(k, n) REP(l, m) {
    // cout << i << " " << j << " " << k << " " << l << " " << ret << endl;
    int w = abs(k-i), h = abs(l-j);
    if(w == 0) {
      if(h+1 == K) ret++;
      continue;
    }
    if(h == 0) {
      if(w+1 == K) ret++;
      continue;
    }
    int g = __gcd(w, h);
    w /= g, h /= g;
    int tmp = abs(k-i)/w + 1;
    if(tmp == K) ret++;
  }
  cout << ret/2 << endl;

  return 0;
}