ある矩形範囲(a,b,c,d)の最大値はその区間の max(A)*max(B), max(A)*min(B), min(A)*max(B), min(A)*min(B) のうちのどれかとなる。最小値についても同様にどれかになる。
最大値の個数については max(A)*max(B)が最大値であればmax(A)の個数*max(B)の個数, max(A)*min(B)が最大値であればmax(A)の個数*min(B)の個数,… の和によって求められる。
max(A)==min(A)のケースや答えが0になるケースに注意が必要。maxが0のときについて考えると、行列Cの要素のうち+になるようなものが存在してはいけないのでAとBが取る数の符号が異なる場合のみのはずである。したがって (min(A)>=0 かつ max(b)<=0) もしくは (max(A) <= 0 かつ min(B) >= 0) となっているはずで最大値の候補に上げた4個の積のうち0になるものが必ず存在する。つまりans=0のときも値については上に上げた4つのmaxを取ることで求められる。0になる個数を求めるのは矩形範囲全体から0でないものを引くとすればよい。minについても同様。

したがって区間加算区間max,min,countが可能な遅延セグメントツリーを使えばよい。この記事のように抽象化した遅延セグ木でどう実装したのか書く。(最大,最大の個数,最小,最小の個数)がほしいのでTはvector、Eにはその区間全体に加算する値がほしいのでintとする。マージする写像fでは最大,最小はmax,minを取る、個数は左右のノードを見てmaxとノードの値が一致すればそのノードの個数をプラスするとした。写像gでは区間加算なので最大と最小にだけプラスし個数には何もしない。写像hでは区間加算なので和を返す。単位元d0は(0,1,0,1)、d1は0とする。

まとめると遅延セグメントツリーを使いクエリに答えていく。下の実装はdefine int llしてるので注意。

ソースコード

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using VI = vector<int>;
using VVI = vector<VI>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define PB push_back

const ll LLINF = (1LL<<60);

// 遅延セグメントツリー
template <typename T, typename E>
struct segtree {
  using F = function<T(T,T)>;
  using G = function<T(T,E)>;
  using H = function<E(E,E)>;
  using P = function<E(E,int)>;
  F f; G g; H h; P p; T d1; E d0;
  int n;
  vector<T> dat;
  vector<E> lazy;

  segtree(){}
  segtree(int n_, F f_, G g_, H h_, T d1_, E d0_, P p_=[](E a, int b){return a;}):
    f(f_), g(g_), h(h_), p(p_), d1(d1_), d0(d0_) {
    n = 1; while(n < n_) n *= 2;
    dat.assign(n*2, d1);
    lazy.assign(n*2, d0);
  }
  void build(vector<T> v) {
    REP(i, v.size()) dat[i+n-1] = v[i];
    for(int i=n-2; i>=0; --i) dat[i] = f(dat[i*2+1], dat[i*2+2]);
  }

  // 区間の幅がlenの節点kについて遅延評価
  inline void eval(int len, int k) {
    if(lazy[k] == d0) return;
    if(k*2+1 < n*2-1) {
      lazy[2*k+1] = h(lazy[k*2+1], lazy[k]);
      lazy[2*k+2] = h(lazy[k*2+2], lazy[k]);
    }
    dat[k] = g(dat[k],p(lazy[k],len));
    lazy[k] = d0;
  }
  // [a, b)
  T update(int a, int b, E x, int k, int l, int r) {
    eval(r-l, k);
    if(b <= l || r <= a) return dat[k];
    if(a <= l && r <= b) {
      lazy[k] = h(lazy[k], x);
      return g(dat[k], p(lazy[k],r-l));
    }
    return dat[k] = f(update(a, b, x, 2*k+1, l, (l+r)/2),
                      update(a, b, x, 2*k+2, (l+r)/2, r));
  }
  T update(int a, int b, E x) { return update(a, b, x, 0, 0, n); }
  // [a, b)
  T query(int a, int b, int k, int l, int r) {
    eval(r-l, k);
    if(a <= l && r <= b) return dat[k];
    bool left = !((l+r)/2 <= a || b <= l), right = !(r <= 1 || b <= (l+r)/2);
    if(left&&right) return f(query(a, b, 2*k+1, l, (l+r)/2), query(a, b, 2*k+2, (l+r)/2, r));
    if(left) return query(a, b, 2*k+1, l, (l+r)/2);
    return query(a, b, 2*k+2, (l+r)/2, r);
  }
  T query(int a, int b) { return query(a, b, 0, 0, n); }
};

signed main(void)
{
  int H, W, q;
  scanf("%lld%lld%lld", &H, &W, &q);
  VI a(H), b(W);
  REP(i, H) scanf("%lld", &a[i]);
  REP(i, W) scanf("%lld", &b[i]);

  // セグ木を定義
  auto f = [](VI a, VI b) {
    // max,minの数
    int maxnum = a[0]==max(a[0],b[0])?a[1]:0;
    maxnum += b[0]==max(a[0],b[0])?b[1]:0;
    int minnum = a[2]==min(a[2],b[2])?a[3]:0;
    minnum += b[2]==min(a[2],b[2])?b[3]:0;
    return VI{
      max(a[0],b[0]),
      maxnum,
      min(a[2],b[2]),
      minnum
    };
  };
  auto g = [](VI a, int b) {
    return VI{
      a[0]+b,
      a[1],
      a[2]+b,
      a[3]
    };
  };
  auto h = [](int a, int b) {
    return a+b;
  };
  segtree<VI,int> seg1(H, f, g, h, {0,1,0,1}, 0),
                 seg2(W, f, g, h, {0,1,0,1}, 0);

  // 初期状態を設定
  VVI inita, initb;
  REP(i, H) inita.PB({a[i], 1, a[i], 1});
  REP(i, W) initb.PB({b[i], 1, b[i], 1});
  seg1.build(inita); seg2.build(initb);

  // クエリにこたえる
  REP(i, q) {
    int type;
    scanf("%lld", &type);
    if(type==1) {
      int a, b, v;
      scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &v);
      seg1.update(a-1, b, v);
    } else if(type==2) {
      int a, b, v;
      scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &v);
      seg2.update(a-1, b, v);
    } else if(type==4) {
      int ma = -LLINF, num = 0;
      int a, b, c, d;
      scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &d);
      VI v1 = seg1.query(a-1, b);
      VI v2 = seg2.query(c-1, d);
      ma = max({
        v1[0]*v2[0],
        v1[2]*v2[2],
        v1[0]*v2[2],
        v1[2]*v2[0]
      });
      // maxが0のケース
      if(ma == 0) {
        int tmpa = 0, tmpb = 0;
        if(v1[0] == 0) tmpa = v1[1];
        if(v1[2] == 0) tmpa = v1[3];
        if(v2[0] == 0) tmpb = v2[1];
        if(v2[2] == 0) tmpb = v2[3];
        num = (b-a+1)*(d-c+1) - (b-a+1-tmpa)*(d-c+1-tmpb);
      } else {
        if(v1[0] == v1[2] && v2[0] == v2[2]) {
          num = (b-a+1) * (d-c+1);
        } else if(v1[0] == v1[2] || v2[0] == v2[2]) {
          if(v1[2]*v2[2] == ma) num += v1[3]*v2[3];
          if(v1[0]*v2[0] == ma) num += v1[1]*v2[1];
        } else {
          if(v1[0]*v2[0] == ma) num += v1[1]*v2[1];
          if(v1[0]*v2[2] == ma) num += v1[1]*v2[3];
          if(v1[2]*v2[0] == ma) num += v1[3]*v2[1];
          if(v1[2]*v2[2] == ma) num += v1[3]*v2[3];
        }
      }
      printf("%lld %lld\n", ma, num);
    } else if(type==3) {
      int mi = LLINF, num = 0;
      int a, b, c, d;
      scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &d);
      VI v1 = seg1.query(a-1, b);
      VI v2 = seg2.query(c-1, d);
      mi = min({
        v1[0]*v2[0],
        v1[2]*v2[2],
        v1[0]*v2[2],
        v1[2]*v2[0]
      });
      // minが0の場合
      if(mi == 0) {
        int tmpa = 0, tmpb = 0;
        if(v1[0] == 0) tmpa = v1[1];
        if(v1[2] == 0) tmpa = v1[3];
        if(v2[0] == 0) tmpb = v2[1];
        if(v2[2] == 0) tmpb = v2[3];
        num = (b-a+1)*(d-c+1) - (b-a+1-tmpa)*(d-c+1-tmpb);
      } else {
        if(v1[0] == v1[2] && v2[0] == v2[2]) {
          num = (b-a+1) * (d-c+1);
        } else if(v1[0] == v1[2] || v2[0] == v2[2]) {
          if(v1[2]*v2[2] == mi) num += v1[3]*v2[3];
          if(v1[0]*v2[0] == mi) num += v1[1]*v2[1];
        } else {
          if(v1[0]*v2[0] == mi) num += v1[1]*v2[1];
          if(v1[0]*v2[2] == mi) num += v1[1]*v2[3];
          if(v1[2]*v2[0] == mi) num += v1[3]*v2[1];
          if(v1[2]*v2[2] == mi) num += v1[3]*v2[3];
        }
      }
      printf("%lld %lld\n", mi, num);
    }
  }

  return 0;
}

2018-04-11

codeforces #212 div2 D. Fools and Foolproof Roads

競技プログラミング Codeforces

問題ページ Problem - D - Codeforces

概要

n頂点m辺の重み付き無向グラフが与えられる。このグラフに辺を張る操作をp回行うことで連結成分数がq個になるようにしたい。
辺を張るときは

同じ連結成分内の頂点なら1000
違う連結成分の頂点ならばmin(10^9, 連結成分の辺の重みの和)

のコストがかかる。
条件を満たす操作があるのか、そのうちかかるコストが最小となるような操作はどのようなものかを答えろ

考えたこと

連結成分について扱うしunionfind？
unionfindで各連結成分について辺の重みの和をもっておくとよさそう
最初の時点で連結成分数がqより少なければ不可能
同じ連結成分内の頂点をつなぐ操作を違う連結成分の頂点をつなぐより優先すべきか考えると多分そんな状況はない
違う連結成分の頂点をつなぐコストが増えるし連結成分数を減らすことはできないため
したがって連結成分数をq個にしたあとさらに操作をしないといけないときのみ同じ連結成分の頂点をつなげばよい
逆に連結成分数がすでにq個で操作しないといけないのに2頂点以上の連結成分がなければ不可能
つなぐ連結成分はどうするべきか
辺の重みの和が小さい連結成分から貪欲につなげばいい気持ちになったので貪欲を書くと通った

unionfindで連結成分、priority_queueで(辺の重みの和、どの連結成分か)について管理しながら貪欲
バグとコーナーに気をつけつつ実装する

ソースコード

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using VI = vector<int>;
using VVI = vector<VI>;
using PII = pair<int, int>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define PB push_back

const ll LLINF = (1LL<<60);
const int INF = (1LL<<30);
const int MOD = 1000000007;

class UnionFind {
public:
  const static int MAX_N = 100010;
  int par[MAX_N];
  int s[MAX_N];
  int w[MAX_N];
  UnionFind() { init(); }
  UnionFind(int n) { init(n); }
  void init() { for(int i=0; i<MAX_N; ++i) par[i] = i, s[i] = 1, w[i] = 0; }
  void init(int n) { for(int i=0; i<n; ++i) par[i] = i, s[i] = 1, w[i] = 0; }
  int find(int x) {
    if(par[x] == x) return x;
    return par[x] = find(par[x]);
  }
  void unite(int x, int y) {
    x = find(x);
    y = find(y);
    if(x == y) return;
    if(s[x] < s[y]) par[x] = y, s[y] += s[x], w[y] += w[x];
    else par[y] = x, s[x] += s[y], w[x] += w[y];
  }
  bool same(int x, int y) { return find(x) == find(y);}
};
UnionFind uf;

VI v[100010];
signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  int n, m, p, q;
  cin >> n >> m >> p >> q;
  REP(i, m) {
    int x, y, l;
    cin >> x >> y >> l;
    x--, y--;
    uf.unite(x, y);
    uf.w[uf.find(x)] += l;
  }

  priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> que;
  vector<bool> used(n, false);
  int cnt = 0;
  REP(i, n) {
    if(used[uf.find(i)]) continue;
    used[uf.find(i)] = true;
    que.push({uf.w[uf.find(i)], uf.find(i)});
    cnt++;
  }

  if(cnt < q) {
    cout << "NO" << endl;
    return 0;
  }

  vector<PII> ans;
  int num = 0;
  while(num < p && cnt > q) {
    PII p1 = que.top(); que.pop();
    PII p2 = que.top(); que.pop();
    uf.unite(p1.second, p2.second);
    if(uf.w[uf.find(p1.second)] >= 1e9) {
      uf.w[uf.find(p1.second)] += 1e9;
    } else {
      uf.w[uf.find(p1.second)]*=2;
      uf.w[uf.find(p1.second)]++;
    }
    cnt--; num++;
    ans.PB({p1.second, p2.second});
    que.push({uf.w[uf.find(p1.second)], uf.find(p1.second)});
  }

  if(num == p) {
    if(cnt > q) {
      cout << "NO" << endl;
    } else if(cnt == q) {
      cout << "YES" << endl;
      for(auto i: ans) {
        cout << i.first+1 << " " << i.second+1 << endl;
      }
    }
    return 0;
  }

  REP(i, n) v[uf.find(i)].PB(i);
  int idx = -1;
  REP(i, n) if(v[i].size() >= 2) idx = i;
  if(idx == -1) {
    cout << "NO" << endl;
    return 0;
  }

  while(num < p) {
    ans.PB({v[idx][0], v[idx][1]});
    num++;
  }

  cout << "YES" << endl;
  for(auto i: ans) {
    cout << i.first+1 << " " << i.second+1 << endl;
  }

  return 0;
}

ferinの競プロ帳

競プロについてのメモ

ARC095 C - Many Medians

考えたこと

ソースコード

AOJ2304 Reverse Roads

考えたこと

ソースコード

AOJ2382 KingSlime

考えたこと

ソースコード

AOJ2297 Rectangular Stamps

考えたこと

ソースコード

AOJ2425 全探索お姉さんの休日

考えたこと

ソースコード

RUPC2018 day2 J Matrix

解法

ソースコード

codeforces #212 div2 D. Fools and Foolproof Roads

概要

考えたこと

ソースコード