Codeforces Round #513 by Barcelona Bootcamp (rated, Div. 1 + Div. 2) E. Sergey and Subway

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解法

辺を追加する前と後のグラフでの最短経路の変化について考える。距離が2の頂点対が結ばれて距離1になる。したがって元の最短距離がxであればceil(x/2)となる。d[i][j] = (辺を追加する前のグラフの頂点i,j間の最短距離) とする。答えはsum(ceil(d[i][j]/2) = sum(d[i][j]+d[i][j]%2)/2となる。
sum(d[i][j]%2)は最短距離が奇数の頂点対の個数に等しい。これは適当な頂点を根とした根付き木と考えて、根からの距離が偶数の頂点と奇数の頂点をペアとする頂点対になる。根からの距離を数えるのはDFSで行える。
sum(d[i][j])は頂点対で考えるのではなく辺に注目して考える。頂点u,vを端点とする辺を通るパスの数について考えると、木を辺(u,v)で分断したときの各連結成分の大きさの積になる。したがってある根付き木での各頂点を根として部分木の大きさがわかっていれば計算できる。これもDFSで計算できる。

ceil(a/2) = a/2 + a%2
頂点対について考えるのではなく辺単位でまとめる

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<int, int>;
 
#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
 
template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
 
template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) { 
  return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }
 
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<typename T>
istream& operator >> (istream& is, vector<T>& vec){
  for(T& x: vec) {is >> x;} return is;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'['; for(T i: a) {out<<i<<',';} out<<']'; return out;
}
 
int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
ll MOD = 1000000007;

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  ll n;
  cin >> n;
  vector<vector<ll>> g(n);
  REP(i, n-1) {
    ll u, v;
    cin >> u >> v;
    u--, v--;
    g[u].push_back(v);
    g[v].push_back(u);
  }

  vector<ll> sz(n, 1), cnt(2);
  function<void(ll,ll,ll)> dfs = [&](ll v, ll p, ll x) {
    cnt[x]++;
    for(auto to: g[v]) {
      if(to == p) continue;
      dfs(to, v, x^1);
      sz[v] += sz[to];
    }
  };
  dfs(0, -1, 0);

  ll ret = 0;
  FOR(i, 1, n) ret += sz[i] * (n-sz[i]);
  ret += cnt[0]*cnt[1];
  ret /= 2;
  cout << ret << endl;

  return 0;
}