ferinの競プロ帳

競プロについてのメモ

ARC101 E - Ribbons on Tree

競技プログラミング AtCoder

問題ページ

考えたこと

  • とりあえず木DPっぽい
  • dp[頂点i][部分木iでまだペアが確定していない頂点の数j] みたいなのを考える
  • 頂点数がdpテーブルに来てるし二乗の木DPっぽい
  • 遷移がどうなるか考えるけど全くまとまらない
  • 数学できれいになるのかなあと思って計算するけど何もわからない
    -----解説を見た-----
  • 少なくとも1本に覆われている → 一本も覆われていない頂点がない
  • 包除原理で数える
  • 辺の数の偶奇(=包除原理の正負)で分け、DPをつかって計算する
  • dp[i][j][k] = (頂点i以下の部分木で頂点iと連結な頂点がj個で辺の偶奇がkのときの組み合わせ数) とする
  • 遷移は頂点iとiの子toをつなぐときと切断するときで場合分けする
    • iとtoを切断する→to以下の部分木の組み合わせが確定して辺のとり方(解説のg)を掛ける
    • iとtoをつないだまま→頂点数がi以下とto以下の和になる
  • 3乗っぽいけど間に合う2乗の木DP
#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<int, int>;
 
#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
 
template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
 
template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) { 
  return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }
 
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<typename T>
istream& operator >> (istream& is, vector<T>& vec){
  for(T& x: vec) {is >> x;} return is;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'['; for(T i: a) {out<<i<<',';} out<<']'; return out;
}
 
int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const int MOD = 1000000007;

struct mint {
  ll x;
  mint(): x(0) { }
  mint(ll y) : x(y>=0 ? y%MOD : y%MOD+MOD) {}
  ll get() const { return x; }
  // e乗
  mint pow(ll e) {
    ll a = 1, p = x;
    while(e > 0) {
      if(e%2 == 0) {p = (p*p) % MOD; e /= 2;}
      else {a = (a*p) % MOD; e--;}
    }
    return mint(a);
  }
  // Comparators
  bool operator <(mint b) { return x < b.x; }
  bool operator >(mint b) { return x > b.x; }
  bool operator<=(mint b) { return x <= b.x; }
  bool operator>=(mint b) { return x >= b.x; }
  bool operator!=(mint b) { return x != b.x; }
  bool operator==(mint b) { return x == b.x; }
  // increment, decrement
  mint operator++() { x++; return *this; }
  mint operator++(signed) { mint t = *this; x++; return t; }
  mint operator--() { x--; return *this; }
  mint operator--(signed) { mint t = *this; x--; return t; }
  // Basic Operations
  mint &operator+=(mint that) {
    x += that.x;
    if(x >= MOD) x -= MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator-=(mint that) {
    x -= that.x;
    if(x < 0) x += MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator*=(mint that) {
    x = (ll)x * that.x % MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator/=(mint that) {
    x = (ll)x * that.pow(MOD-2).x % MOD;
    return *this;
  }
  mint &operator%=(mint that) {
    x = (ll)x % that.x;
    return *this;
  }
  mint operator+(mint that) const { return mint(*this) += that; }
  mint operator-(mint that) const { return mint(*this) -= that; }
  mint operator*(mint that) const { return mint(*this) *= that; }
  mint operator/(mint that) const { return mint(*this) /= that; }
  mint operator%(mint that) const { return mint(*this) %= that; }
};
// Input/Output
ostream &operator<<(ostream& os, mint a) { return os << a.x; }
istream &operator>>(istream& is, mint &a) { return is >> a.x; }

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  ll n;
  cin >> n;
  vector<vector<ll>> g(n);
  REP(i, n-1) {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    a--, b--;
    g[a].push_back(b);
    g[b].push_back(a);
  }

  vector<mint> c(n+1);
  c[2] = 1;
  for(ll i=4; i<=n; i+=2) c[i] = c[i-2] * (i-1);

  // 2乗の木DP
  function<vector<vector<mint>>(ll,ll)> dfs = [&](ll v, ll par) {
    auto ret = make_v<mint>(2,2);
    ret[1][0] = 1;
    for(auto to: g[v]) {
      if(to == par) continue;
      auto tmp = dfs(to, v);
      auto nret = make_v<mint>(ret.size()+tmp.size()-1, 2);
      REP(i, ret.size()) REP(j, tmp.size()) {
        // vからtoまでの辺を切断
        nret[i][0] += ret[i][0] * tmp[j][1] * c[j] + ret[i][1] * tmp[j][0] * c[j]; 
        nret[i][1] += ret[i][0] * tmp[j][0] * c[j] + ret[i][1] * tmp[j][1] * c[j];
        // vからtoまでの辺をつないだまま
        nret[i+j][0] += ret[i][0] * tmp[j][0] + ret[i][1] * tmp[j][1];
        nret[i+j][1] += ret[i][0] * tmp[j][1] + ret[i][1] * tmp[j][0];
      }
      swap(ret, nret);
    }
    return ret;
  };

  auto ret = dfs(0, -1);
  mint ans = 0;
  REP(i, ret.size()) {
    ans += ret[i][0] * c[i];
    ans -= ret[i][1] * c[i];
  }
  cout << ans << endl;

  return 0;
}