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競プロについてのメモ

NJPC2017 H - 白黒ツリー

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H - 白黒ツリー

解法

頂点に関する制約条件を扱うのは大変なので辺のコストの条件に置き換える。両端の頂点の色が違う辺のコストは0、両端の頂点の色が同じ辺のコストは1とする。こうするとクエリ2について頂点uとvの2頂点間の距離が0かどうかの判定に置き換えられる。クエリ1について考えると頂点uの部分木の頂点を反転させても辺のコストは変化しない。唯一変化するのは頂点uとp[u]の親を結ぶ辺で、この辺のコストが1→0、0→1に反転する。まとめると、

  • クエリ1: 木の2頂点間の距離
  • クエリ2: 木の辺のコストを変更する

というクエリに帰着できる。木の2頂点間の距離はLCAを用いるとO(logN)で求めることができる。また、木の辺のコストを変更するクエリはオイラーツアーとBITを組み合わせることで実現することができる。(蟻本p295) オイラーツアーを行って木を数列に直し、BITの形で根からのコストの累積和を持っておく。2頂点間の距離は累積和の差分を取ることで求めることができ、BITに対して区間加算を行うのはimos法の要領で実装できる。
したがってLCAとBITとオイラーツアーを用いることで実装ができる。

ソースコード

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using VI = vector<int>;
using VVI = vector<VI>;
using PII = pair<int, int>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define PB push_back

const ll INF = (1LL<<60);
const int MOD = 1000000007;

template <typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template <typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template <typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')';
  return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'[';
  REP(i, a.size()) {out<<a[i];if(i!=a.size()-1)out<<',';}
  out<<']';
  return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0};

// Binary Indexed Tree
// 0-indexed
template <typename T>
class BIT {
private:
  // データ
  vector<T> bit;
  // 単位元, 要素数
  int neutral = 0;
  // 更新クエリ, 区間クエリ
  function<T(T,T)> f = [](const T l, const T r) -> T { return l+r; },
                   g = [](const T l, const T r) -> T { return l+r; };
public:
  // 初期化
  BIT(int n_ = 1e5) { init(n_); }
  void init(int n_ = 1e5) { bit.assign(n_+1, neutral); }
  // iに対する点更新クエリ
  void update(int i, T w) {
    for(int x = i+1; x < bit.size(); x += x&-x) bit[x] = f(bit[x], w);
  }
  // [0,i)に対する区間クエリ
  T query(int i) {
    T ret = neutral;
    for(int x = i+1; x > 0; x -= x & -x) ret = g(ret, bit[x]);
    return ret;
  }
};

template <typename S>
class sparseTable {
public:
  using T = typename S::T;
  int n;
  vector<int> log2;
  vector<vector<T>> t;

  sparseTable(int nn = 1e5) { init(nn); }
  void init(int nn) {
    n = nn;
    log2.assign(n+1, 0);
    for(int i=2; i<=n; ++i) log2[i] = log2[i >> 1] + 1;
    t.assign(log2[n]+1, vector<T>(n));
  }
  void build(vector<T> v) {
    for(int i=0; i<n; ++i) t[0][i] = v[i];
    for(int j=1; j<=log2[n]; ++j) {
      int w = 1LL<<(j-1);
      for (int i = 0; i+(w<<1) <= n; ++i) {
        t[j][i] = S::op(t[j-1][i], t[j-1][i+w]);
      }
    }
  }
  // [l, r]
  T query(int l, int r) {
    int j = log2[r - l];
    return S::op(t[j][l], t[j][r-(1 << j)+1]);
  }
};
struct minimum {
  using T = PII;
  static T op(const T& a, const T& b) { return min(a, b); }
};

struct LCA {
  struct edge { int id, to, cost; };
  const int n = 0;
  const int log2_n = 0;
  VVI par;
  vector<vector<edge>> g;
  VI depth;     // 頂点iの深さ
  VI vs;        // 頂点を訪問順に並べたもの
  VI depth_seq; // depth_seq[i] = (頂点vs[i]の深さ)
  VI id;        // 頂点が初めてvsに登場するインデックス
  VI es;        // 辺のインデックス(i*2+(葉方向:0,根方向:1))
  VI w;         // 辺の重み
  BIT<int> bit;
  sparseTable<minimum> st;

  void dfs(int v, int p, int d, int &k) {
    id[v] = k; vs[k] = v; depth_seq[k++] = d; depth[v] = d;
    for(auto e: g[v]) {
      if(e.to == p) continue;
      bit.update(k, e.cost); es[e.id*2] = k;
      dfs(e.to, v, d+1, k);
      vs[k] = v; depth_seq[k++] = d;
      bit.update(k, -e.cost); es[e.id*2+1] = k;
    }
  }

  LCA(int n_=1e5) :
    n(n_), g(n, vector<edge>()), depth(n), vs(2*n-1),
    depth_seq(2*n-1), id(n), es((n-1)*2), w(n-1)
  {
    bit.init(2*n-1);
  }
  // u-vに重みcostのi番目の辺を張る
  void add_edge(int i, int u, int v, int cost) {
    g[u].PB({i, v, cost});
    g[v].PB({i, u, cost});
    w[i] = cost;
  }
  // rootを根として初期化
  void build(int root = 0) {
    int k = 0;
    dfs(root, -1, 0, k);
    // RMQの初期化
    vector<PII> v(2*n-1);
    REP(i, 2*n-1) v[i] = {depth_seq[i], i};
    st.init(2*n-1);
    st.build(v);
  }

  // uとvのlcaを返す O(logN)
  int get(int u, int v) {
    if(id[u] > id[v]) swap(u, v);
    return vs[st.query(id[u], id[v]).second];
  }
  // uとvの距離を返す O(logN)
  int length(int u, int v) {
    int lca = get(u, v);
    return bit.query(id[v]) + bit.query(id[u]) - 2*bit.query(id[lca]);
  }
  // 辺xのコストをtに変更 O(logN)
  void update(int x, int t) {
    t = !w[x];
    bit.update(es[x*2], t - w[x]);
    bit.update(es[x*2+1], w[x] - t);
    w[x] = t;
  }
};

int c[100010];
signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  int n;
  cin >> n;
  LCA lca(n);
  VI p(n);
  FOR(i, 1, n) {
    cin >> p[i]; p[i]--;
  }
  REP(i, n) cin >> c[i];

  FOR(i, 1, n) {
    int cost = c[i]==c[p[i]]?1:0;
    lca.add_edge(i-1, i, p[i], cost);
  }
  lca.build();

  vector<string> ans;
  int q;
  cin >> q;
  REP(i, q) {
    int type;
    cin >> type;
    if(type == 1) {
      int u; cin >> u; u--;
      if(u == 0) continue;
      // u と p[u] の間の辺について更新
      lca.update(u-1, 0);
    } else {
      int u, v; cin >> u >> v; u--, v--;
      ans.PB(lca.length(u,v)>=1?"NO":"YES");
    }
  }

  REP(i, ans.size()) {
    cout << ans[i] << endl;
  }

  return 0;
}