AOJ1350 There is No Alternative

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There is No Alternative | Aizu Online Judge

解法

ある最小全域木Tの辺をひとつ交換して構成できる全域木が最小全域木であれば、その辺はno alternative bridgeではない。ある辺を除去したときに代わりに加えたときに全域木になる辺を列挙したい。辺eを除去することで木Tがグラフg1とg2に別れたとする。このとき、g1の頂点とg2の頂点をつなぐ辺はこの条件を満たすはずである。したがって辺を除去したあとで各頂点がどちらの連結成分に含まれるのか調べることで辺を列挙することができる。これはO(N+M)のdfsを行うことでできる。除去を試す辺はO(N)本なので合計O(N(N+M))で通る。
最小全域木Tを構成
→Tの辺eを除去
→各頂点がどちらの連結成分に含まれるか調べる
→グラフの各辺が全域木になる辺か調べる
→条件を満たしていればno alternative bridgeとしてカウント

交換可能な枝とか基本カットセットについて知ってたので考察がスムーズだった。

ソースコード

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using VI = vector<int>;
using VVI = vector<VI>;
using PII = pair<int, int>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define PB push_back

const ll LLINF = (1LL<<60);
const int INF = (1LL<<30);
const int MOD = 1000000007;

template <typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template <typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template <typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')';
  return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'[';
  REP(i, a.size()) {out<<a[i];if(i!=a.size()-1)out<<',';}
  out<<']';
  return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0};

class UnionFind {
public:
  const static int MAX_N = 505;
  int par[MAX_N];
  int s[MAX_N];
  UnionFind() { init(); }
  UnionFind(int n) { init(n); }
  void init() { for(int i=0; i<MAX_N; ++i) par[i] = i, s[i] = 1; }
  void init(int n) { for(int i=0; i<n; ++i) par[i] = i, s[i] = 1; }
  int find(int x) {
    if(par[x] == x) return x;
    return par[x] = find(par[x]);
  }
  void unite(int x, int y) {
    x = find(x);
    y = find(y);
    if(x == y) return;
    if(s[x] < s[y]) par[x] = y, s[y] = s[x] + s[y];
    else par[y] = x, s[x] = s[x] + s[y];
  }
  bool same(int x, int y) { return find(x) == find(y);}
};
UnionFind uf;

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  int n, m;
  cin >> n >> m;
  VVI edge(m, VI(3, 0));
  REP(i, m) {
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    a--, b--;
    edge[i] = {c, a, b};
  }

  VVI g(500, VI());
  VVI tree;
  sort(ALL(edge));
  REP(i, m) {
    if(uf.same(edge[i][1], edge[i][2])) continue;
    uf.unite(edge[i][1], edge[i][2]);
    g[edge[i][1]].PB(edge[i][2]);
    g[edge[i][2]].PB(edge[i][1]);
    tree.PB(edge[i]);
  }

  int cnt = 0, ret = 0;
  int type[505] = {};
  bool used[505] = {};

  // cout << tree << endl;
  REP(i, tree.size()) {
    function<void(int,int)> dfs = [&](int v, int t) {
      type[v] = t;
      used[v] = true;
      for(auto e: g[v]) {
        bool cond = tree[i][1] == v && tree[i][2] == e;
        cond |= tree[i][2] == v && tree[i][1] == e;
        if(!used[e] && !cond) dfs(e, t);
      }
    };
    // tree[i] を削除したときの頂点の分割
    int t = 0;
    memset(used, false, sizeof(used));
    REP(j, n) {
      if(used[j]) continue;
      dfs(j, t);
      t++;
    }
    bool ok = true;
    REP(j, m) {
      // j番目のedgeの両端のtypeが異なる
      if(tree[i] == edge[j]) continue;
      if(type[edge[j][1]] != type[edge[j][2]] && tree[i][0] == edge[j][0]) {
        ok = false;
        break;
      }
    }
    if(ok) {
      cnt++;
      ret += tree[i][0];
    }
  }

  cout << cnt << " " << ret << endl;

  return 0;
}