CODE FESTIVAL 2016 Grand Final A - 1D Matching

考えたこと

とりあえずNが小さいパターンを実験してみる。PCと電源をつなぐのをPCから電源への有向辺で表すとする。

下の図でオレンジ色のつなぎ方は最短なつなげ方ではない。最短なつなげ方にならないパターンを他にも試してみると、有向辺の向きが逆の辺が交差していると最短なつなげ方にならないことがわかる。交差しているところがあったらつなげる先を交換すればより短いつなげ方となることからもわかる。位置だけからもっとも短いつなげ方がわかるので重要なのは順番だけで座標の位置は気にしなくてよいことがわかる。
さらにいろいろ試していると交差がだめなことから、うまく区間を区切っていくと区間内のPCと電源しかつなげないことがわかる。つまり、区間ごとに独立に計算できる。PCが来たら+1、電源が来たら-1として累積和を取って0になった時点で区間を区切るとうまい区切り方になる。
この区間ごとに有向辺の向きはかならず一定になるのでこれをうまく使って何通りあるのか数える。次のように並んでいるときについて考える。今見ている場所まででつなげ方が何通りあるか、まだつなげていない電源が何個あるのかを保持しておくと下の表のように数えられる。更新は * 今見ているのが電源なら残りの電源数にその分プラス * 今見ているのがPCならC(残りの電源数, PC数) * (PC数)!を通り数に加えるでできる。

電源,電源,電源,PC,PC,電源,PC,電源,PC,PC  
              電 PC 電 PC 電 PC
連続してる数  3  2  1  1  1  2
      何通り  1  6  6  12 12 24
残りの電源数  3  1  2  1  2  0

MODを取ることやオーバーフローに気をつけつつ実装すると通った。
もうちょっと素早く考察できるようになりたい。

#define __USE_MINGW_ANSI_STDIO 0
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
#define int ll
typedef vector<int> VI;
typedef vector<VI> VVI;
typedef vector<ll> VL;
typedef vector<VL> VVL;
typedef pair<int, int> PII;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define IN(a, b, x) (a<=x&&x<b)
#define MP make_pair
#define PB push_back
#ifdef int
const ll INF = (1LL<<60);
#else
const int INF = (1LL<<30);
#endif
const double PI = 3.14159265359;
const double EPS = 1e-12;
const int MOD = 1000000007;

template <typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template <typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')';
  return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0};

int a[100010], b[100010], f[200010];

ll combi(ll N_, ll C_) {
    const int NUM_=400001;
    static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
    if (fact[0]==0) {
        inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
        for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[MOD % i] * (MOD - MOD / i) % MOD;
        for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%MOD, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%MOD;
    }
    if(C_<0 || C_>N_) return 0;
    return factr[C_]*fact[N_]%MOD*factr[N_-C_]%MOD;
}

signed main(void)
{
  int n;
    cin >> n;
    vector<PII> v;
    REP(i, n) cin >> a[i], v.PB({a[i], 0});
    REP(i, n) cin >> b[i], v.PB({b[i], 1});
    sort(ALL(v));

    f[0] = 1;
    FOR(i, 1, 2*n+1) (f[i] = f[i-1] * i) %= MOD;

    VI v2;
    int cnt = 1;
    FOR(i, 1, v.size()) {
        if(v[i].second == v[i-1].second) cnt++;
        else {
            v2.PB(cnt);
            cnt = 1;
        }
    }
    v2.PB(cnt);

    bool turn = true;
    int ret = 1; cnt = 0;
    for(int i: v2) {
        if(turn) {
            cnt += i;
        } else {
            if(cnt >= i) {
                // C(cnt, i) * i!
                (ret *= combi(cnt, i) * f[i] % MOD) %= MOD;
                cnt -= i;
            } else {
                (ret *= f[cnt]) %= MOD;
                cnt = i-cnt;
                turn = !turn;
            }
        }
        turn = !turn;
    }
    cout << ret % MOD << endl;

    return 0;
}

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