AGC006 D - Median Pyramid Hard

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解法

K番目の値を求めるときは二分探索がよくあるパターンである。二分探索を使うことでK番目の値がX以上か？という判定問題に置き換える。K番目の値がA以上であればA以下の数Bについても判定が真となるので単調性はある。数列をX以上とX未満の2種類に変換できるという性質が優秀でうれしい。
今回の問題ではX以上を1、X未満を0と置いてみる。この0/1列でpyramidの値がどうなるか実験してみる。00/11と並んでいたらその上のマスは必ず0/1になる。01010と並んでいた場合は左端・右端のマス目の数の幅が1マスずつ増えていく。区間[l,r]に交互に並んでいたとすると[l, ceil( (l+r)/2 ) )がl番目、( ceil( (l+r)/2 ), n-1]がr番目の値になる。ただしl,rが0やn-1番目のときの処理には注意が必要。これらの性質を使うとO(n)で判定ができ、全体でO(nlogn)で解ける。

同じ数字が並ぶ箇所ごと(v[i-1]==v[i])に処理をするとして実装した。前に同じ数字が並んで現れた箇所をprevとして持っておく。区間[prev,i-1]で01が交互に現れるので上で述べたような処理を行う。最後が01交互で終わる列のときに処理を忘れないように注意。番兵を使うなりループ後に処理を入れるなりしましょう。

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<int, int>;
 
#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
 
template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
 
template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) { 
  return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }
 
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<typename T>
istream& operator >> (istream& is, vector<T>& vec){
  for(T& x: vec) {is >> x;} return is;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'['; for(T i: a) {out<<i<<',';} out<<']'; return out;
}
 
int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<40;
const ll MOD = 1000000007;

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  ll n;
  cin >> n;
  n = 2*n-1;
  vector<ll> a(n);
  REP(i, n) cin >> a[i];

  auto check = [&](ll mid) -> bool {
    vector<ll> v(n);
    REP(i, n) v[i] = a[i] >= mid;

    ll prev = 0;
    FOR(i, 1, n) {
      if(v[i] == v[i-1]) {
        if(prev < i-1) {
          ll x = ceil(prev+i-1, 2LL);
          FOR(j, prev, x) v[j] = v[prev];
          FOR(j, x, i) v[j] = v[i-1];
        }
        prev = i;
      }
    }
    if(prev < n-1) {
      ll x = ceil(prev+n-1, 2LL);
      FOR(j, prev, x) v[j] = v[prev];
      FOR(j, x, n) v[j] = v[n-1];
    }
    return v[n/2];
  };

  ll lb = 1, ub = n+1;
  while(ub-lb > 1) {
    ll mid = (lb+ub)/2;
    if(check(mid)) lb = mid;
    else ub = mid;
  }

  cout << lb << endl;

  return 0;
}