CODE FESTIVAL 2017 qual C D - Yet Another Palindrome Partitioning

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解法

回文が成り立つ⇔奇数個の文字が1種類以下 である。回文が成り立つかの判定を高速にするため hash = (文字種iが奇数個だったらiビット目を1とする) となるハッシュを考える。このハッシュを使うと 回文が成り立つ⇔1のビットの数が1個以下 となる。h[i]=(区間[0,i)のハッシュ)とする。
dpの定義を dp[i]=(i番目までで条件を満たすような最小の分割数) とすると遷移はdp[i] = min_j (dp[j]) + 1 (区間[j,i)が回文になる=h[j] xor h[i]が2べきか0)となる。このdpを普通に書くとO(N^2)なので高速化する。
h[j] xor h[i] = 2べきか0 となるようなjを見つけなければならない。h[j] = h[i] xor (2べきか0) となるようなjであればよい。h[j]が取りうる値はたかだか27個なのでdpの遷移をこれで抑えることを考える。これはdp2[i] = (ハッシュがiとなるような分け方のうち最小の分割数) があればできる。dpの遷移は dp[i] = min(dp2[h[i] xor (2べきか0)]) + 1 となる。これでdpの更新がO(文字種)で抑えられた。dp2の更新はdp2[h[i]] = min(dp2[h[i]], dp[i]) とすればよくO(1)でできる。これでO(N*(文字種))で解けた。

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
using ll = long long;
// #define int ll
using PII = pair<int, int>;
 
#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
 
template<typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template<typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template<typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }

template<typename T> vector<T> make_v(size_t a) { return vector<T>(a); }
template<typename T,typename... Ts>
auto make_v(size_t a,Ts... ts) { 
  return vector<decltype(make_v<T>(ts...))>(a,make_v<T>(ts...));
}
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value==0>::type
fill_v(T &t, const V &v) { t=v; }
template<typename T,typename V> typename enable_if<is_class<T>::value!=0>::type
fill_v(T &t, const V &v ) { for(auto &e:t) fill_v(e,v); }

template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')'; return out;
}
template<typename T>
istream& operator >> (istream& is, vector<T>& vec){
  for(T& x: vec) {is >> x;} return is;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'['; for(T i: a) {out<<i<<',';} out<<']'; return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0}; // DRUL
const int INF = 1<<30;
const ll LLINF = 1LL<<60;
const ll MOD = 1000000007;

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  string s;
  cin >> s;
  ll n = s.size();

  // dp[i] = (i番目までで条件を満たす最も少ない分割数)
  // dp[i] = dp[j] + 1 (a[i]^a[j]が0もしくは2べき)
  // dp2[i] = (ハッシュ値がiのもののうち分割数のmin)
  // dp[i] = min(dp[a[i]^x]) + 1

  ll a = 0;
  vector<int> dp(n), dp2(1LL<<26, INF);
  dp[0] = 0, dp2[0] = 0;
  REP(i, n) {
    a ^= 1LL<<(s[i]-'a');
    int mi = dp2[a];
    REP(j, 26) chmin(mi, dp2[a^(1LL<<j)]);
    dp[i] = mi + 1;
    chmin(dp2[a], dp[i]);
  }
  cout << dp[n-1] << endl;

  return 0;
}