AGC006 C - Rabbit Exercise

問題ページ

解説を読んだ。

解法

数式で扱いやすい形に変形

公式解説にある通り対称な位置の計算、位置の期待値の計算を扱いやすい形(置換)に変形する。

置換をダブリングで高速に計算

K回置換を計算するのは二分累乗、ダブリングの要領で高速にできる。置換の積は結合則が成り立っているので二分累乗のように計算順序を変更したとしても問題なく計算することができる。

結局答えは整数しか取らない。

• 数式変形による問題の帰着
• 高速な置換の計算

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using PII = pair<int, int>;
template <typename T> using V = vector<T>;
template <typename T> using VV = vector<V<T>>;
template <typename T> using VVV = vector<VV<T>>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define PB push_back

const ll INF = (1LL<<60);
const int MOD = 1000000007;

template <typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template <typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template <typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')';
  return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'[';
  REP(i, a.size()) {out<<a[i];if(i!=a.size()-1)out<<',';}
  out<<']';
  return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0};

// 二分累乗 O(funcの計算量*logE)
template<typename T>
T binpow(T x, int e, auto func=[](T a, T b){return a*b%MOD;}, T d=1) {
  T ret = d, p = x;
  while(e > 0) {
    if(e%2 == 0) {p = func(p, p); e /= 2;}
    else {ret = func(ret, p); e--;}
  }
  return ret;
};

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  int n;
  cin >> n;
  vector<int> x(n);
  REP(i, n) cin >> x[i];
  int m, k;
  cin >> m >> k;
  vector<int> a(m);
  REP(i, m) cin >> a[i], a[i]--;

  // iがjについて反転
  // (x[i] + x' ) / 2 = x[j]
  // x' = 2x[j] - x[i]
  // aが反転するなら
  // E[x'] = E[2x[a-1]-x[a]]/2 + E[2x[a+1]-x[a]]/2 = E[x[a-1]] + E[x[a+1]] - E[x[a]]
  // xについて差分をとった数列dxを用意すると上の操作は swap(dx[a-1], dx[a]) となる
  // 1セット分の運動は置換として考えられる
  // K回置換は二分累乗のようにするとO(NlogK)でできる

  // 置換の積
  auto func = [&](vector<int> v1, vector<int> v2) {
    vector<int> ret(v1.size());
    REP(i, v1.size()) ret[i] = v2[v1[i]];
    return ret;
  };

  // 1セット分の置換
  vector<int> p(n-1), d(n-1);
  REP(i, n-1) d[i] = p[i] = i;
  REP(i, m) swap(p[a[i]-1], p[a[i]]);
  // 二分累乗でKセット分を計算
  auto ret = binpow<vector<int>>(p, k, func, d);
  // 差分を計算
  vector<int> dx(n-1), dy(n-1);
  FOR(i, 1, n) dx[i-1] = x[i] - x[i-1];
  // 置換に従ってswapして累積和
  vector<int> ans(n);
  ans[0] = x[0];
  REP(i, n-1) ans[i+1] = ans[i] + dx[ret[i]]; 

  REP(i, n) cout << ans[i] << endl;

  return 0;
}