JAG夏合宿2018 day2 E - Self-contained

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解法

問題の条件を満たす集合は以下の2通りである。

• 等差数列になっている 0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, …
• 0 a b a+b の形になっている (a=bもa=b=0もありえる)

等差数列であればどのような2数を選んでもその差が集合に含まれている。等差数列は各公差dについてループを回せば調和級数でO(nlogn)で確認できる。
2番目のケースについては全ての(a,b)の組について確認するのではO(n²)で当然不可能となる。この判定にはFFTを用いることができる。A[i] = (i番目が集合に含まれているなら1, そうでないなら0) とする。B = A*A(畳み込み) とするとB[i] = (A[k]=A[i-k]=1となるkの数) となる。したがってB[i]=3であれば0 a 2aの形、B[i]>=4であれば0 a b a+bの形が存在する。これでO(nlogn)で2番目のケースについても判定できる。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using PII = pair<int, int>;
template <typename T> using V = vector<T>;
template <typename T> using VV = vector<V<T>>;
template <typename T> using VVV = vector<VV<T>>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define PB push_back

const ll INF = (1LL<<60);
const int MOD = 1000000007;

template <typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template <typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template <typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')';
  return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'[';
  REP(i, a.size()) {out<<a[i];if(i!=a.size()-1)out<<',';}
  out<<']';
  return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0};

using C = complex<double>;

void dft(V<C> &f, bool inv = false)
{
  const int n = f.size();
  const double PI = (inv ? -1 : 1) * acos(-1);
  for(int i=0, j=1; j+1<n; j++) {
    for(int k = n>>1; k>(i^=k); k>>=1);
    if(i>j) swap(f[i], f[j]);
  }

  C pow_zeta, zeta, a, b;
  for(int i=1; i<n; i<<=1) {
    zeta = polar(1.0, PI/i);
    for(int j=0; j<n; j+=i<<1) {
      pow_zeta = 1.0;
      for(int k=0; k<i; k++) {
        a = f[j+k],
        b = C(f[j+k+i].real()*pow_zeta.real()-f[j+k+i].imag()*pow_zeta.imag(),
              f[j+k+i].real()*pow_zeta.imag()+f[j+k+i].imag()*pow_zeta.real());
        f[j+k] = a+b, f[j+k+i] = a-b;
        pow_zeta *= zeta;
      }
    }
  }
  if(inv) {
    double temp = 1.0/n;
    REP(i, n) f[i] *= temp;
  }
}

// xとyの畳み込みを返す
V<int> multiply(V<int> x, V<int> y) {
  int n = 1;
  while(n < x.size()+y.size()-1) n <<= 1;
  V<C> f(n), g(n);
  REP(i, x.size()) f[i] = x[i];
  REP(i, y.size()) g[i] = y[i];
  dft(f); dft(g);
  REP(i, n) f[i] *= g[i];
  dft(f, true);
  V<int> ret(x.size()+y.size()-1);
  REP(i, x.size()+y.size()-1) ret[i] = f[i].real() + 0.5;
  return ret;
}

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  string s;
  cin >> s;
  int n = s.size();

  if(s[0]=='0') {
    cout << 0 << endl;
    return 0;
  }

  int ans = 1;
  REP(i, n) if(s[i]=='1') ans = 2;
  for(int i=2; i<n; i+=2) if(s[i]=='1' && s[i/2]=='1') ans = 3;

  // 倍数についての判定
  for(int i=1; i<n; ++i) {
    int cnt = 1;
    for(int j=i; j<n; j+=i, cnt++) {
      if(s[j]=='0') {
        break;
      }
    }
    chmax(ans, cnt);
  }

  // 0 a b a+b みたいなやつの判定
  V<int> a(n, 0);
  REP(i, n) a[i] = s[i]=='1';
  auto ret = multiply(a, a);
  cout << ret << endl;
  REP(i, n) {
    if(s[i]=='1') {
      chmax(ans, min(ret[i], 4LL));
    }
  }

  cout << ans << endl;

  return 0;
}